যদি a¯=i^+2j^-3k^ এবং b¯=3i^-+2k^ হয়, তবে a¯+b¯ এবং a¯-b¯ এর মধ্যবর্তী কোণের মান হবে-

যদি $\bar{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ এবং $\bar{b} = \hat{3 i} - + 2 \hat{k}$ হয়, তবে $\bar{a} + \bar{b}$ এবং $\bar{a} - \bar{b}$ এর মধ্যবর্তী কোণের মান হবে-

Created: 4 years ago | Updated: 7 months ago

Updated: 7 months ago

ক

$45 °$
খ

$90 °$
গ

$30 °$
ঘ

$120 °$

BUET BUET উচ্চতর গণিত 2011 স্কেলার গুণন ও ভেক্টর গুণন

1.3k

ব্যাখ্যাঃ

আমরা জানি, দুটি ভেক্টর $\vec{X}$ এবং $\vec{Y}$ যদি পরস্পর লম্ব (orthogonal) হয়, তবে তাদের ডট গুণফল (dot product) শূন্য হয়, অর্থাৎ $\vec{X} \cdot \vec{Y} = 0$।

যদি $\vec{X} = \vec{a} + \vec{b}$ এবং $\vec{Y} = \vec{a} - \vec{b}$ হয়, তবে তাদের ডট গুণফল হবে:

$\vec{X} \cdot \vec{Y} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

যেহেতু ডট গুণফল বিনিময়যোগ্য, অর্থাৎ $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, তাই উপরের সমীকরণটি দাঁড়ায়:

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

সুতরাং, $\vec{a}+\vec{b}$ এবং $\vec{a}-\vec{b}$ ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$ হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়, অর্থাৎ $|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$। এর অর্থ হলো $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$, যা থেকে পাওয়া যায় $|\vec{a}| = |\vec{b}|$।

এখন প্রদত্ত ভেক্টর $\vec{a}$ এর মান (magnitude) নির্ণয় করি:

$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

প্রশ্নে প্রদত্ত ভেক্টর $\vec{b}$ এর গঠনে একটি ত্রুটি পরিলক্ষিত হচ্ছে। তবে, যেহেতু বিকল্পগুলির মধ্যে $90^\circ$ একটি সম্ভাব্য উত্তর, এবং $\vec{a}+\vec{b}$ ও $\vec{a}-\vec{b}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$ হওয়ার শর্ত হলো $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, তাই ধরে নেওয়া হয় যে $\vec{b}$ এমনভাবে প্রদত্ত হয়েছিল যাতে তার মান $\vec{a}$ এর মানের সমান হয়।

যদি $\vec{b} = 3\hat{i} \pm \hat{j} + 2\hat{k}$ হতো, তবে এর মান হতো:

$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (\pm 1)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$

এই ক্ষেত্রে, $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ শর্তটি পূরণ হয়।

যেহেতু $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ শর্ত পূরণ হচ্ছে, তাই $\vec{a}+\vec{b}$ এবং $\vec{a}-\vec{b}$ ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হবে।

দুটি লম্ব ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ হয় $90^\circ$।

অতএব, $\vec{a}+\vec{b}$ এবং $\vec{a}-\vec{b}$ এর মধ্যবর্তী কোণের মান $90^\circ$ হবে।

Satt AI

1 day ago

MCQ: 18

Practice

স্কেলার গুণন ও ভেক্টর গুণন

দুটি দিক রাশি বা ভেক্টর রাশির গুণফল সাধারণত দুই প্রকার, যথা—

(১) স্কেলার গুণন বা ডট গুণন (Scalar or Dot product

(২) ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন (Vector or Cross product)

এই দুটি গুণন বা গুণফল নিম্নে পৃথক পৃথকভাবে আলোচনা করা হল।

স্কেলার গুণন বা ডট গুণন

সংজ্ঞা :

দুটি ভেক্টর রাশির কেলার গুণফল একটি স্কেলার রাশি হবে যার মান রাশি দুটির মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের (cosine) গুণফলের সমান। ভেক্টর রাশি দুটির মাঝে (.) চিহ্ন দিয়ে ডট গুণফল প্রকাশ করা হয় এবং পড়তে হয় “প্রথম রাশি ডট দ্বিতীয় রাশি।”

বা, স্কেনার গুণফল দুটি ভেক্টরের মানের গুণফলের সাথে তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফল।

ব্যাখ্যা ঃ মনে করি $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$ দুটি ভেক্টর রাশি। তীর চিহ্নিত OA ও OC সরলরেখা রাশি দুটির মান ও দিক নির্দেশ করছে [চিত্র ২.৩০)। এরা পরস্পরের সাথে $α$ কোণে আনত। তাদের স্কেলার বা অদিক গুণফল = $\vec{P}$ . $\vec{Q}$ দ্বারা নির্দেশ করা হয় এবং পড়তে হয় $\vec{P}$ ডট $\vec{Q}$ কাজেই সংজ্ঞা অনুসারে পাই,

$\vec{P}$ . $\vec{Q}$ = l $\vec{P}$ l $\vec{Q}$ l cos α

বা, $\vec{P}$ $\vec{Q}$ = PQ cos α .. (33)

এখানে 0 <α <π

সমীকরণ (33) হতে দেখা যায়, গুণফল একটি স্কেলার রাশি।

বিশেষ দ্রষ্টব্য :

(ক) যদি α = 0° হয়, তবে $\vec{P}$ . $\vec{Q}$ - PQ cos 0° = PQ। এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পরের সমান্তরাল হবে।

(খ) যদি α = 90° হয়, তবে $\vec{P}$ . $\vec{Q}$ =PQ cos 90° = 0 । এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হবে।

(গ) যদি α= 180° হয়, তবে $\vec{P}$ . $\vec{Q}$ = PQ cos 180° = - PQ। এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পরের সমান্তরাল এবং বিপরীতমুখী হবে।

স্কেলার গুণনের উদাহরণ :

বল $\vec{F}$ এবং সরণ $\vec{s}$ উভয়েই ভেক্টর রাশি। কিন্তু এদের স্কেলার গুণফল কাজ (W) একটি স্কেলার রাশি অর্থাৎ

W = . $\vec{F}$ . $\vec{s}$ = Fs cos α.. (34)

স্থিতিশক্তি, বৈদ্যুতিক বিভব ইত্যাদিও ভেক্টর রাশির স্কেলার গুণফলের উদাহরণ।

ভেক্টর বা ক্রস গুণন Cross product of vectors

সংজ্ঞা : দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি ভেক্টর রাশি হয়, তবে ঐ গুণনকে ভেক্টর গুণন বা ফ্রস গুণন বলে। এই ভেক্টর গুণফলের মান ভেক্টর রাশি দুটির মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইন (sine) এর গুণফলের সমান। ভেক্টর গুণফলের দিক ডানহাতি স্কু নিয়মে নির্ণয় করা হয়।

ব্যাখ্যা : মনে করি . $\vec{P}$ ও . $\vec{Q}$ দুটি ভেক্টর রাশি। এরা পরস্পরের সাথে α কোণে O বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

অতএব এদের ভেক্টর গুণফল বা দিক গুণফল—

$\vec{R}$ = $\vec{P}$ × $\vec{Q}$ =

বা, $\vec{R}$ = $\vec{P}$ × $\vec{Q}$

= $\hat{η} P Q \sin α 0 \leq α \leq π$

এখানে $\hat{η}$ (ইটা) একটি একক ভেক্টর $\vec{R}$ এর দিক নির্দেশ করে [ চিত্র ২.৩১ ও ২.৩২ ]।

ডান হাতি স্ক্রু নিয়ম : ভেক্টর দুটি যে সমতলে অবস্থিত সেই সমতলের উপর লম্বভাবে একটি ডান হাতি স্কুকে রেখে প্রথম ভেক্টর হতে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে ঘুরালে স্কুটি যে দিকে অগ্রসর হয় সেই দিকই হবে $\vec{R}$ তথা $\hat{η}$ এর দিক।

উপরোক্ত নিয়ম অনুসারে $\vec{P}$ × $\vec{Q}$ এর অভিমুখ হবে উপরের দিকে। চিত্র ১-৩৩] এবং $\vec{Q}$ x $\vec{P}$ এর অভিমুখ হবে নিচের দিকে [চিত্র ২.৩৪] অর্থাৎ প্রথম ক্ষেত্রে ডান হাতি স্কুর দিক হবে ঘড়ির কাটার বিপরীতমুখী (Anti- clockwise) এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ঘড়ির কাঁটার দিকে (Clockwise) । Anti-clockwise direction positive (ধনাত্মক) ধরা হয় এবং clockwise direction-কে Negative (ঋণাত্মক) ধরা হয়।

যদি $\bar{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ এবং $\bar{b} = \hat{3 i} - + 2 \hat{k}$ হয়, তবে $\bar{a} + \bar{b}$ এবং $\bar{a} - \bar{b}$ এর মধ্যবর্তী কোণের মান হবে-

(১) স্কেলার গুণন বা ডট গুণন (Scalar or Dot product

(২) ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন (Vector or Cross product)